密度行列の基礎

密度行列の基礎#

まず、密度行列が何であるかを数学的な観点から記述し、その後いくつかの例を見ていきます。その後、密度行列がどのように機能するかに関するいくつかの基本的側面と、それらが量子情報の簡略化された定式化における量子状態ベクトルとどのように関係するかを議論します。

定義#

量子系 \(\mathsf{X}\) があると仮定し、この系の（有限で空でない）古典状態集合を \(\Sigma\) とします。ここでは「量子情報の基礎」コースで用いられている命名規則を踏襲しており、機会があれば今後も同様に従います。

量子情報の一般的な定式化において、系 \(\mathsf{X}\) の量子状態は 密度行列 \(\rho\) によって記述されます。その成分は複素数であり、行と列の添字（両方とも）は古典状態集合 \(\Sigma\) と対応付けられています。小文字のギリシャ文字 \(\rho\) は密度行列の名前として慣習的に最もよく使われますが、\(\sigma\) や \(\xi\) も一般的に用いられます。

以下は量子ビットの状態を表す密度行列のいくつかの例です：

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{split}\]

\(\rho\) が密度行列であるとは、次の2つの条件（これらはすぐに説明されます）がともに満たされていることを意味します：

トレースが1であること：\(\operatorname{Tr}(\rho) = 1\)
半正定値性：\(\rho \geq 0\)

行列のトレース#

密度行列に関する最初の条件は、行列の トレース を指します。これはすべての正方行列に対して定義される関数であり、対角成分の総和として定義されます：

\[\begin{split} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}. \end{split}\]

トレースは線形関数です：同じサイズの任意の2つの正方行列 \(A\) と \(B\)、および任意の複素数 \(\alpha\) と \(\beta\) に対して、次の等式が常に成り立ちます。

\[ \operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta \operatorname{Tr}(B) \]

トレースは非常に重要な関数であり、これについてはさらに多くのことが言えますが、必要になったときに詳しく述べることにします。

半正定値行列#

2つ目の条件は、行列が 半正定値 であるという性質に関するものです。これは量子情報理論や他の多くの分野において基本的な概念です。

行列 \(P\) が 半正定値 であるとは、ある行列 \(M\) が存在して

\[ P = M^{\dagger} M \]

と書けることを意味します。

ここで、\(M\) を \(P\) と同じサイズの正方行列と要求してもよいですし、非正方行列であっても構いませんが、いずれにしても同じクラスの行列が得られます。

この条件にはいくつかの同値な（しかし等価な）定義があり、例えば次のようなものがあります：

行列 \(P\) は、\(P\) がエルミート（すなわち自身の共役転置に等しい）であり、そのすべての固有値が非負の実数であるとき、かつそのときに限り半正定値である。エルミート性と固有値が非負であることを確認することは、半正定値性を検証するための簡単な計算的方法です。
行列 \(P\) が半正定値であるとは、\(P\) と同じ次元をもつ任意の複素ベクトル \(\vert\psi\rangle\) に対して、\(\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle\) が常に0以上になることと同値である。

半正定値行列を直感的に理解する一つの方法は、それらが非負実数の行列版であると考えることです。すなわち、半正定値行列は複素正方行列に対して、非負実数が複素数に対するのと同じ関係にあります。

例えば、複素数 \(\alpha\) が非負実数であることは、ある複素数 \(\beta\) が存在して

\[ \alpha = \overline{\beta} \beta \]

と書けることと同値であり、これはスカラーの場合における半正定値性の定義に対応しています。

一般に行列はスカラーより複雑な対象ですが、それでもこの見方は有用です。

また、記号 \(P \geq 0\) は \(P\) が半正定値であることを表します。特に注意すべき点として、この文脈において \(P \geq 0\) は \(P\) の各成分が非負であることを意味するわけではありません。実際、負の成分を持つ半正定値行列も存在し、逆にすべての成分が正であっても半正定値でない行列も存在します。

密度行列の解釈#

ここまでの時点では、密度行列の定義はやや恣意的で抽象的に見えるかもしれません。なぜなら、これらの行列やその成分にまだ意味付けを与えていないからです。

密度行列がどのように機能し、どのように解釈されるかはこの後で明らかになりますが、現時点では次のように（やや非形式的に）考えると役立つかもしれません：

密度行列の 対角成分 は、標準基底測定を行ったときに各古典状態が現れる確率を与える。
密度行列の 非対角成分 は、その成分に対応する2つの古典状態がどの程度量子重ね合わせにあるか、およびそれらの相対位相を記述する。

量子状態が密度行列で表されるべきであることは、先験的には明らかではありません。実際には、量子状態を密度行列で表すという選択から、量子情報の数学的記述全体が自然に導かれるという意味があります。量子情報の他のすべての内容は、この一つの選択からかなり論理的に導かれます。

状態ベクトルとの関係#

量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) は、ユークリッドノルムが1であり、その成分が古典状態集合 \(\Sigma\) と対応付けられた列ベクトルであることを思い出してください。同じ状態の密度行列表現 \(\rho\) は次のように定義されます：

\[ \rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \]

これは列ベクトルと行ベクトルの積であり、その結果は行と列が \(\Sigma\) に対応する正方行列になります。この形の行列は密度行列であるだけでなく、常に射影であり、ランクは1です。

例として、まず、2つの量子ビット状態ベクトルを定義します。

\[\begin{split} \begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

これら2つのベクトルに対応する密度行列は次の通りです。

\[\begin{split} \begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

以下は、これらの状態と、他のいくつかの基本的な例 \(\vert 0\rangle,\ \vert 1\rangle,\ \vert {+}\rangle,\ \vert {-}\rangle\) を並べた表です。これら6つの状態は後のレッスンでも再び登場します。

状態ベクトル	密度行列
\(\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}\)	\(\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}\)	\(\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\)	\(\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
\(\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)	\(\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
\(\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\)	\(\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
\(\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)	\(\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

もう一つの例として、「量子情報の基礎」コースの Single systems レッスンに登場した状態を示します。状態ベクトル表示と密度行列表現の両方を含みます。

\[\begin{split} \vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix} \end{split}\]

量子状態ベクトル \(\vert \psi \rangle\) に対して \(\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert\) の形をとる密度行列は 純粋状態 と呼ばれます。すべての密度行列がこの形で書けるわけではなく、純粋でない状態も存在します。

純粋状態の密度行列は、固有値として1を1つ持ち、他のすべての固有値は0です。これは、密度行列の固有値がその状態に内在するランダム性や不確定性を記述するという解釈と一致しています。本質的に、純粋状態 \(\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert\) には不確定性がなく、状態は確実に \(\vert \psi \rangle\) です。

一般に、量子状態ベクトル

\[\begin{split} \vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix} \end{split}\]

（古典状態が \(n\) 個ある系）に対して、その密度行列表現は次の通りです。

\[\begin{split} \begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

したがって、純粋状態の場合には、密度行列の対角成分が標準基底測定において各古典状態が出現する確率を与えることが確認できます。

純粋状態に関する最後の注意として、密度行列は量子状態ベクトルに存在する グローバル位相 に関する縮退(冗長性)を取り除きます。実数 \(\theta\) に対して、グローバル位相だけが異なる2つの量子状態ベクトル \(\vert \psi \rangle\) と \(\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle\) があると仮定します。これらはグローバル位相だけが異なるため、たとえベクトル自体は異なっていても、まったく同じ量子状態を表しています。一方で、これら2つの状態ベクトルから得られる密度行列は同一になります。

\[ \vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \]

一般に、密度行列は量子状態の一意な表現を与えます：任意の測定に対してまったく同じ結果の統計を生成する2つの量子状態は、そのときに限り密度行列表現が等しいです。数学的な言い方をすると、密度行列は量子状態の 忠実な（faithful）表現 を与えます。