はじめに#
「量子情報の基礎」コースでは、量子状態を量子状態ベクトルで表現し、演算をユニタリ行列で表すという量子情報の枠組みについて議論しました。 その後、「量子アルゴリズムの基礎」コースではこの枠組みを用いて量子アルゴリズムを記述・解析しました。
量子情報には実際には二つの一般的な数学的記述があり、その中で「量子情報の基礎」で紹介されたものがより単純です。このため、これを量子情報の簡略化された定式化と呼びます。
このレッスンでは、第二の記述、すなわち量子情報の一般的な定式化の探求を始めます。 これはもちろん簡略化された表現と整合していますが、注目すべき利点も備えています。 例えば、量子状態の不確実性を記述したり、ノイズが量子計算に与える影響をモデル化したりするために使えます。 それは量子情報理論、量子暗号学、そして量子情報に関連する他のトピックの基礎を提供し、数学的観点からも非常に美しいものです。
量子情報の一般的な定式化において、量子状態は簡略化された定式化のようなベクトルで表現されるのではなく、代わりに密度行列と呼ばれる特別な行列群で表現されます。ここに、これらの利用を動機づけるいくつかの重要なポイントを紹介します。
密度行列は量子状態ベクトルよりも広い量子状態のクラスを表現できます。これには、ノイズにさらされた量子系の状態や、量子状態のランダムな選択など、実用的な場面で生じる状態が含まれます。
密度行列は、無視したい別の系と絡み合っている系の状態など、系の孤立した部分の状態を記述することを可能にします。これは量子情報の単純化された定式化では簡単には実現できない。
古典的（確率的）状態も密度行列、特に対角行列によって表現できます。これは、量子情報と古典情報を単一の数学的枠組み内で同時に記述できるため重要であり、古典情報は本質的に量子情報の特別なケースです。
一見すると、量子状態が行列で表されるのは奇妙に思えるかもしれません。行列は通常、状態ではなく作用や演算を表します。例えば、ユニタリ行列は量子情報の簡略化された定式化における量子演算を記述し、確率行列は古典情報の文脈における確率演算を記述します。 対照的に、密度行列は確かに行列ですが、それらは状態を表しており、作用や演算を表しません。
それにもかかわらず、密度行列が(すべての行列と同様に)線形写像に関連付けられるという事実は、極めて重要な側面です。 例えば、密度行列の固有値は、それらが表現する状態に内在するランダム性や不確実性を表します。
レッスンビデオ#
以下のビデオでは、ジョン・ワトラスが密度行列の内容を丁寧に説明します。あるいは、このレッスンのYouTube videoを別のウィンドウで開くこともできます。スライドをダウンロード。このレッスンのために。
<IBMVideo id=”134056231” タイトル=「このビデオでは、ジョン・ワトラスが密度行列の基本を解説します。さらに、密度行列と多重系の組み合わせについても議論を広げています。」/>