ここからは、複数の系に対して密度行列がどのように機能するかに注目します。これには、密度行列が表現できるさまざまな種類の相関の例や、複合系から切り離された部分の状態を記述するために密度行列がどのように使用できるかが含まれます。
複数システム
密度行列は、量子情報の簡略化された定式化における状態ベクトルと類似した方法で、複数システムの状態を表現することができます。これは、複数システムをあたかも単一の複合システムであるかのように見なすことができるという、同じ基本的な考え方に従っています。
数学的な用語で言えば、複数システムの状態を表現する密度行列の行と列は、個々の系の古典的な状態集合のデカルト積（直積）と対応付けられます。
例えば、4つのベル状態の状態ベクトル表現を思い出してください。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm]
\vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm]
\vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm]
\vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle
\end{aligned}
\end{split}\]
これらの状態の密度行列表現は以下の通りです。
\[\begin{split}
\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{split}\]
積状態
状態ベクトルの場合と同様に、密度行列のテンソル積は複数のシステムの状態間の 独立性 を表します。例えば、\(\mathsf{X}\) が密度行列 \(\rho\) で表される状態に準備され、\(\mathsf{Y}\) が密度行列 \(\sigma\) で表される状態に独立して準備された場合、\((\mathsf{X},\mathsf{Y})\) の状態を記述する密度行列はテンソル積 \(\rho\otimes\sigma\) となります。
ここでは、量子情報の簡略化された定式化と同じ用語が使用されます。つまり、この形式の状態は積状態と呼ばれます。
相関状態とエンタングル状態
積状態として表現できない状態は、システム間の 相関 を表します。
実際には、密度行列によって表現できる相関にはさまざまな種類があります。
ここにいくつかの例を挙げます。
相関した古典状態。
例えば、アリスとボブがランダムなビットを共有している状況を次のように表現できます：
\[\begin{split}
\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert +
\frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
量子状態のアンサンブル。
\(m\) 個の密度行列 \(\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}\) があり、それらがすべて系 \(\mathsf{X}\) の状態を表しているとします。そして、確率ベクトル \((p_0,\ldots,p_{m-1})\) に従って、これらの状態の1つをランダムに選択するとします。このようなプロセスは状態の アンサンブル によって表現されます。これには、確率 \((p_0,\ldots,p_{m-1})\) だけでなく、密度行列 \(\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}\) の指定も含まれます。\(k\) のランダムな選択とそれに対応する密度行列 \(\rho_k\) の両方を記述する単一の密度行列に、状態のアンサンブルを次のように関連付けることができます。
\[
\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.
\]
明確にしておくと、これはペア \((\mathsf{Y},\mathsf{X})\) の状態であり、ここで \(\mathsf{Y}\) は \(k\) の古典的な選択を表します。したがって、その古典的な状態集合は \(\{0,\ldots,m-1\}\) であると仮定しています。この形式の状態は、 古典・量子状態 と呼ばれることがあります。
セパラブル状態。次のように、2つの系の量子状態間に古典的な相関がある状況を想像することができます：
\[
\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.
\]
言い換えると、\(0\) から \(m-1\) までの各 \(k\) について、確率 \(p_k\) で左側の系が状態 \(\rho_k\) にあり、右側の系が状態 \(\sigma_k\) にあるということになります。このような状態はセパラブル状態と呼ばれます。この概念は、2つ以上の系に拡張することもできます。
エンタングル状態。 系のペアのすべての状態がセパラブルであるとは限りません。量子情報の一般的な定式化では、エンタングルメントはこのように定義されます。つまり、セパラブルではない状態は エンタングルしている と言われます。
この用語は、「量子情報の基礎」コースで使用した用語と一致していることに注意してください。そこでは、積状態ではない量子状態ベクトルはエンタングル状態を表すと述べました。そして実際、積状態ではない任意の量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) について、密度行列 \(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\) で表される状態はセパラブルではないことがわかります。純粋状態ではない状態の場合、エンタングルメントの判定はこれよりもはるかに複雑です。
縮約状態と部分トレース
複数のシステムの文脈において、密度行列を用いてできる単純ですが重要なことがあります。それは、いくつかのシステムを無視することによって得られる状態を記述することです。
複数のシステムが量子状態にあり、1つ以上のシステムを破棄するか、無視することを選択した場合、残りのシステムの状態はそれらのシステムの 縮約状態 と呼ばれます。
縮約状態の密度行列表現は、全体の状態を記述する密度行列からの、部分トレース として知られる写像を通じて簡単に得られます。
例：eビットの縮約状態
次の状態を共にしている量子ビットのペア \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) があると仮定します。
\[
\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.
\]
アリスが量子ビット \(\mathsf{A}\) を保持し、ボブが \(\mathsf{B}\) を保持していると想像することができます。つまり、彼らは共に1つのeビットを共有していると言えます。ボブが自分の量子ビットを持って星々を訪れる決心をして、二度と姿を見せなくなったかのように、孤立したアリスの量子ビット \(\mathsf{A}\) の密度行列表現を得たいと思います。
まず、ボブが旅の途中で、標準基底の測定に関して自分の量子ビットを測定することに決めた場合に何が起こるか考えてみましょう。もし彼がそうした場合、彼は次の確率で結果 \(0\) を得ます。
\[
\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2
= \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},
\]
この場合、アリスの量子ビットの状態は \(\vert 0\rangle\) になります。そして、彼は次の確率で結果 \(1\) を得ます。
\[
\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2
= \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},
\]
この場合、アリスの量子ビットの状態は \(\vert 1\rangle\) になります。
したがって、ボブの測定結果を無視してアリスの量子ビットに焦点を当てると、彼女は確率 \(1/2\) で状態 \(\vert 0\rangle\) を得て、確率 \(1/2\) で状態 \(\vert 1\rangle\) を得るという結論に至ります。
これは、孤立したアリスの量子ビットの状態を、次の密度行列によって記述することにつながります。
\[
\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.
\]
すなわち、アリスの量子ビットは完全混合状態にあります。
明確にしておくと、アリスの量子ビットの状態に対するこの記述には、ボブの測定結果は含まれていません。私たちはボブを完全に無視しています。
さて、たった今得られた、孤立したアリスの量子ビットの密度行列表現は、ボブが自分の量子ビットを測定したという仮定に依存しているように見えるかもしれませんが、実際はそうではありません。
私たちが行ったことは、ボブが自分の量子ビットを測定する可能性を用いて、すでに学んだことに基づき、完全混合状態がアリスの量子ビットの状態として生じることを論証したことです。
もちろん、ボブが自分の量子ビットを測定しなければならないとはどこにも書かれていません。しかし、彼が測定しないとも書かれていません。
そして、もし彼が何光年も離れているならば、彼が何をしようがしまいが、孤立して見られているアリスの量子ビットの状態に影響を与えることはあり得ません。
つまり、アリスの量子ビットの状態に対して得られた記述は、光よりも速い通信の不可能性と矛盾しない唯一の記述なのです。
ボブの量子ビット \(\mathsf{B}\) の状態について考えることもできますが、これも偶然、完全混合状態になります。
実際に、4つのベル状態すべてについて、アリスの量子ビットとボブの量子ビットの両方の縮約状態が完全混合状態であることがわかります。
一般的な量子状態ベクトルの縮約状態
さて、先ほど議論した例を、必ずしも状態 \(\vert \phi^+\rangle\) の量子ビットではない、2つの任意のシステム \(\mathsf{A}\) と \(\mathsf{B}\) に一般化してみましょう。
システム \(\mathsf{A}\) と \(\mathsf{B}\) の古典的な状態集合が、それぞれ \(\Sigma\) と \(\Gamma\) であると仮定します。
したがって、結合されたシステム \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) の状態を表現する密度行列 \(\rho\) は、デカルト積 \(\Sigma\times\Gamma\) に対応する行と列のインデックスを持ちます。
\((\mathsf{A},\mathsf{B})\) の状態が量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) によって記述されていると仮定します。したがって、この状態を記述する密度行列は \(\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert\) となります。
孤立した \(\mathsf{A}\) の状態の密度行列表現を求めます。これは慣例的に \(\rho_{\mathsf{A}}\) と表記されます。
（下付き文字の代わりに上付き文字が使用されることもあります。）
The state vector \(\vert\psi\rangle\) can be expressed in the form
状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) は、一意に決定されるベクトルの集合 \(\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}\) に対して、以下の形式で表現することができます。
\[
\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle
\]
特に、これらのベクトルは単純な公式を通じて決定することができます。
\[
\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle
\]
前回のeビットの例と同様に推論すると、システム \(\mathsf{B}\) を標準基底の測定で測定した場合、それぞれの結果 \(b\in\Gamma\) を確率 \(\|\vert\phi_b\rangle\|^2\) で得ることになり、その場合 \(\mathsf{A}\) の状態は以下のようになります。
\[
\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.
\]
密度行列として、この状態は次のように記述することができます。
\[
\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)
\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger}
= \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}
\]
それぞれの結果の確率に従って異なる状態の平均をとることで、次の密度行列に行き着きます。
\[
\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma}
\|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}
= \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert
= \sum_{b\in\Gamma}
\bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert
\bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)
\]
部分トレース
公式
\[
\rho_{\mathsf{A}}
= \sum_{b\in\Gamma}
\bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)
\vert\psi\rangle\langle\psi\vert
\bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)
\]
は、純粋状態だけでなく、ペア \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) の任意の密度行列 \(\rho\) に対する \(\mathsf{A}\) の縮約状態の記述を導きます。
\[
\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma}
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr)
\rho
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)
\]
単に線形性と、すべての密度行列が純粋状態の凸結合として記述できるという事実により、この公式は必ず機能します。
この方程式において \(\rho_{\mathsf{A}}\) を得るために \(\rho\) に対して実行されている操作は、部分トレース として知られています。より正確には、部分トレースは \(\mathsf{B}\) に対して実行される、あるいは \(\mathsf{B}\) が トレースアウトされる（トレース消去される）と言います。
この操作は \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}\) と表記されるため、次のように書くことができます。
\[
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) =
\sum_{b\in\Gamma}
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr)
\rho
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).
\]
\(\mathsf{A}\) に対して部分トレースを定義することもできます。これにより、\(\mathsf{B}\) ではなくシステム \(\mathsf{A}\) がトレースアウトされます。次のようになります。
\[
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) =
\sum_{a\in\Sigma}
\bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)
\rho
\bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)
\]
これにより、\(\mathsf{A}\) ではなく、孤立した \(\mathsf{B}\) の状態の密度行列表現 \(\rho_{\mathsf{B}}\) が得られます。
要約すると、\((\mathsf{A},\mathsf{B})\) が任意のシステムのペアであり、\((\mathsf{A},\mathsf{B})\) の状態を記述する密度行列 \(\rho\) がある場合、システム \(\mathsf{A}\) と \(\mathsf{B}\) の縮約状態は以下のようになります。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho)
= \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm]
\rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma}
\bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho
\bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr)
\end{aligned}
\end{split}\]
\(\rho\) が密度行列であれば、\(\rho_{\mathsf{A}}\) と \(\rho_{\mathsf{B}}\) も必然的に密度行列になります。
これらの概念は、2つではなく任意の数のシステムに、自然な形で一般化することができます。
一般に、密度行列 \(\rho\) の下付き文字に、選択した任意のシステムの名前を配置して、それらのシステムのみの縮約状態を記述することができます。
例えば、\(\mathsf{A},\) \(\mathsf{B},\) および \(\mathsf{C}\) がシステムであり、\(\rho\) が \((\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})\) の状態を記述する密度行列である場合、次のように定義できます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma}
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho
\bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm]
\rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma}
\bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho
\bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr)
\end{aligned}
\end{split}\]
システムの他の選択についても同様です。
部分トレースの代替的な記述
部分トレース写像 \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\) と \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}\) を記述する代替的な方法は、それらが以下の公式を満たす 一意 の線形写像であるとすることです。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm]
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M.
\end{aligned}
\end{split}\]
これらの公式において、\(N\) と \(M\) は適切なサイズの正方行列です：
\(M\) の行と列は \(\mathsf{A}\) の古典的な状態に対応し、\(N\) の行と列は \(\mathsf{B}\) の古典的な状態に対応します。
部分トレースのこの特徴づけは、数学的な観点から基本的であるだけでなく、状況によっては迅速な計算を可能にすることもあります。
例えば、量子ビットのペア \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) の次の状態を考えてみましょう。
\[
\rho =
\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert +
\frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert
\]
例えば縮約状態 \(\rho_{\mathsf{A}}\) を計算するには、線形性と、\(\vert 0\rangle\langle 0\vert\) および \(\vert +\rangle\langle +\vert\) が単位トレース（トレースが1）を持つという事実を利用することができます。
\[
\rho_{\mathsf{A}} =
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) =
\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert +
\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert =
\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert
\]
縮約状態 \(\rho_{\mathsf{B}}\) も同様に計算することができます。
\[
\rho_{\mathsf{B}} =
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) =
\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert +
\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert =
\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert
\]
2つの量子ビットに対する部分トレース
部分トレースは、行列を用いて明示的に記述することもできます。
ここでは2つの量子ビットに対してのみこれを行いますが、これはより大きなシステムに一般化することもできます。
2つの量子ビット \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) があると仮定します。そうすると、これら2つの量子ビットの状態を記述する任意の密度行列は次のように書くことができます。
\[\begin{split}
\rho = \begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm]
\alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm]
\alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
ここで、\(\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}\) はある複素数の選択です。
最初のシステムに対する部分トレースは、次の公式を持ちます。
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm]
\alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm]
\alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11}
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
\alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm]
\alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm]
\alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
この公式について考える1つの方法は、\(4\times 4\) 行列を、各ブロックが \(2\times 2\) である \(2\times 2\) ブロック行列として見なすことから始まります。
すなわち、
$\(
\rho = \begin{pmatrix}
M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm]
M_{1,0} & M_{1,1}
\end{pmatrix}
\)$
ここで、
\[\begin{split}
M_{0,0} = \begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11}
\end{pmatrix},
\quad
M_{0,1} = \begin{pmatrix}
\alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm]
\alpha_{12} & \alpha_{13}
\end{pmatrix},
\quad
M_{1,0} = \begin{pmatrix}
\alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm]
\alpha_{30} & \alpha_{31}
\end{pmatrix},
\quad
M_{1,1} = \begin{pmatrix}
\alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm]
\alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}.
\end{split}\]
すると、次のようになります。
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix}
M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm]
M_{1,0} & M_{1,1}
\end{pmatrix}
= M_{0,0} + M_{1,1}.
\end{split}\]
最初のシステムではなく、2番目のシステムがトレースアウトされる場合の公式は次のとおりです。
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}
\begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm]
\alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm]
\alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm]
\alpha_{10} & \alpha_{11}
\end{pmatrix}
&
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm]
\alpha_{12} & \alpha_{13}
\end{pmatrix}
\\[4mm]
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm]
\alpha_{30} & \alpha_{31}
\end{pmatrix}
&
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm]
\alpha_{32} & \alpha_{33}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm]
\alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
以前と同様の形式のブロック行列の観点からは、この公式が得られます。
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}
\begin{pmatrix}
M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm]
M_{1,0} & M_{1,1}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm]
\operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1})
\end{pmatrix}
\end{split}\]
これらの関数のブロック行列による記述は、自然かつ直接的な方法で、量子ビットよりも大きなシステムに拡張することができます。
このレッスンを終えるにあたり、これらの公式を上で考慮したのと同じ状態に適用してみましょう。
\[\begin{split}
\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert
+ \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}.
\end{split}\]
最初のシステム \(\mathsf{A}\) の縮約状態は
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\[1mm]
0 & 0
\end{pmatrix}
&
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
0 & 0\\[1mm]
0 & 0
\end{pmatrix}
\\[4mm]
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
0 & 0\\[1mm]
0 & 0
\end{pmatrix}
&
\operatorname{Tr} \begin{pmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\[2mm]
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
であり、2番目のシステム \(\mathsf{B}\) の縮約状態は
\[\begin{split}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\[1mm]
0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm]
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}.
\end{split}\]
です。
