測定の数学的形式

測定の数学的形式#

このレッスンは、測定に関する2つの等価な数学的記述から始まります。

一般の測定は、それぞれの測定結果に対応する行列の集合によって記述することができ、これは射影測定の記述を一般化したものです。
一般の測定は、出力が常に古典状態（対角な密度行列で表される）となるチャネルとして記述することができます。

このレッスンでは、可能な結果の数が有限である測定に注目します。測定結果が無限個ある測定を定義することも可能ですが、計算や情報処理の文脈ではあまり登場せず、それを適切に形式化するには追加の数学（すなわち測度論）が必要になります。

まず最初に注目するのは、いわゆる破壊的測定です。これは、測定の出力が古典的な測定結果のみであり、測定されたシステムの測定後の量子状態については何も指定されない測定です。直感的には、このような測定は量子システム自体を破壊してしまう、あるいは測定が行われた直後にそのシステムが捨てられてしまうと考えることができます。このレッスンの後半では視野を広げ、古典的な測定結果と測定後の量子状態の両方が存在する非破壊的測定について考察します。

行列の集合としての測定#

\(\mathsf{X}\) を測定対象のシステムとし、簡単のため、\(\mathsf{X}\) の古典状態集合は、ある正の整数 \(n\) について \(\{0,\ldots, n-1\}\) であるとします。したがって、\(\mathsf{X}\) の量子状態を表す密度行列は \(n\times n\) 行列となります。実際には \(\mathsf{X}\) の古典状態そのものを参照する必要はほとんどありませんが、\(\mathsf{X}\) の古典状態の数である \(n\) を参照するのは便利です。また、測定の可能な結果は、ある正の整数 \(m\) について整数 \(0,\ldots,m-1\) であるとします。

これらの名前は単に話を簡単にするために使っているだけであることに注意してください。以下で述べることはすべて、他の有限個の古典状態集合や測定結果の集合に対しても、必要に応じて名前を付け替えれば容易に一般化できます。

射影測定#

射影測定は、合計すると単位行列になる射影行列の集合によって記述されることを思い出してください。記号で書くと、

\[ \{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\} \]

は、各 \(\Pi_a\) が \(n\times n\) の射影行列であり、次の条件が満たされるとき、\(\mathsf{X}\) の射影測定を記述します。

\[ \Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \]

このような測定を、量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) によって記述される状態にあるシステム \(\mathsf{X}\) に対して行うと、各結果 \(a\) は \(\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2\) に等しい確率で得られます。また、測定後の \(\mathsf{X}\) の状態は、ベクトル \(\Pi_a\vert\psi\rangle\) を正規化することで得られますが、ここでは測定後の状態については考えないことにします。

\(\mathsf{X}\) の状態が量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) ではなく密度行列 \(\rho\) によって記述される場合、結果 \(a\) を得る確率は \(\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)\) とも表せます。

\(\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\) が純粋状態であれば、この2つの表現は等しくなります。

\[ \operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2. \]

ここで、2番目の等式にはトレースの巡回性を用いており、3番目の等式には、各 \(\Pi_a\) が射影行列であり、それゆえ \(\Pi_a^2 = \Pi_a\) を満たすという事実を用いています。

一般に、\(\rho\) が純粋状態の凸結合

\[ \rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert \]

である場合、この式が \(\rho\) に関して線形であることから、\(\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)\) という式は結果 \(a\) の平均確率に一致します。

\[ \operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2 \]

一般の測定#

一般の測定に対する数学的記述は、射影測定の定義を緩めることで得られます。具体的には、測定を記述する集合内の行列を、射影行列ではなく任意の半正定値行列とすることを許します。（射影行列は常に半正定値です。射影行列は、固有値がすべて0または1のいずれかである半正定値行列として定義することもできます。）

具体的には、結果が \(0,\ldots,m-1\) であるシステム \(\mathsf{X}\) の一般の測定は、行と列が \(\mathsf{X}\) の古典状態に対応し、次の条件を満たす半正定値行列の集合 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) によって指定されます。

\[ P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \]

システム \(\mathsf{X}\) が密度行列 \(\rho\) によって記述される状態にあるときに測定を行うと、各結果 \(a\in\{0,\ldots,m-1\}\) は確率 \(\operatorname{Tr}(P_a \rho)\) で得られます。

当然求められることですが、一般の測定における結果の確率のベクトル

\[ \bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr) \]

は、密度行列 \(\rho\) をどのように選んでも、常に確率ベクトルとなります。このことは、以下の2つの観察によって確認できます。

2つの半正定値行列の積のトレースは常に非負であるという事実により、各値 \(\operatorname{Tr}(P_a \rho)\) は非負でなければなりません。

\[ Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0. \]

この事実を示す一つの方法は、\(Q\) と \(R\) のスペクトル分解とトレースの巡回性を用いて、積 \(QR\) のトレースを非負の実数の和として表すことです。これは必然的に非負になります。
条件 \(P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}\) とトレースの線形性により、確率の合計が \(1\) になることが保証されます。

\[ \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1 \]

例1：任意の射影測定#

射影行列は常に半正定値であるため、すべての射影測定は一般の測定の一例です。

例えば、量子ビットの標準基底測定は、次のような \(\{P_0,P_1\}\) で表すことができます。

\[\begin{split} P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

状態 \(\rho\) にある量子ビットを測定すると、次のような結果の確率が得られます。

\[\begin{split} \begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned} \end{split}\]

例2：非射影的な量子ビット測定#

\(\mathsf{X}\) を量子ビットとし、次のように2つの行列を定義します。

\[\begin{split} P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{split}\]

これらはどちらも半正定値行列です。エルミート行列であり、いずれの場合も固有値は \(1/2 \pm \sqrt{5}/6\) となり、いずれも正の値です。また \(P_0 + P_1 = \mathbb{I}\) が成り立つため、\(\{P_0,P_1\}\) は測定を記述します。

\(\mathsf{X}\) の状態が密度行列 \(\rho\) によって記述されているときにこの測定を行うと、結果 \(0\) を得る確率は \(\operatorname{Tr}(P_0 \rho)\) であり、結果 \(1\) を得る確率は \(\operatorname{Tr}(P_1 \rho)\) です。例えば、\(\rho = \vert + \rangle \langle + \vert\) の場合、結果 \(0\) と \(1\) の確率は次のようになります。

\[\begin{split} \begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned} \end{split}\]

例3：正四面体測定#

次のように、単一量子ビットの量子状態ベクトルを4つ定義します。

\[\begin{split} \begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned} \end{split}\]

これら4つの状態は、ブロッホ球に内接する正四面体の頂点となっているため、正四面体状態と呼ばれることがあります。

Illustration of a tetrahedron inscribed in the Bloch sphere

これら4つの状態のブロッホ球上でのデカルト座標は、

\[\begin{split} (0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right), \end{split}\]

であり、これらの状態の密度行列表現をパウリ行列の線形結合として表すことで確認できます。

\[\begin{split} \vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2} \end{split}\]

\[\begin{split} \vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2} \end{split}\]

\[\begin{split} \vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2} \end{split}\]

\[\begin{split} \vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2} \end{split}\]

これら4つの状態はブロッホ球上に完全に広がって配置されており、それぞれが他の3つから等距離にあり、どの2つの間の角度も常に同じになっています。

では、各 \(a=0,\ldots,3\) について \(P_a\) を次のように設定することで、量子ビットの測定 \(\{P_0,P_1,P_2,P_3\}\) を定義しましょう。

\[ P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2} \]

これが妥当な測定であることは、次のように確認できます。

各 \(P_a\) は純粋状態を2分の1で割ったものであるため、明らかに半正定値です。すなわち、それぞれはエルミート行列であり、固有値の1つが \(1/2\) に等しく、他の固有値はすべて0です。
これらの行列の合計は単位行列になります：\(P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}.\) これらの行列をパウリ行列の線形結合として表現すれば、このことは容易に確認できます。

チャネルとしての測定#

測定を数学的に記述する2番目の方法は、チャネルとして記述することです。

確率的状態を対角な密度行列と同一視できることから、古典情報は量子情報の特殊な場合とみなすことができます。そのため、操作的な観点では、測定を、入力が測定対象のシステムの状態を記述する行列であり、出力が測定結果の分布を記述する対角な密度行列であるチャネルとして考えることができます。

この性質を持つチャネルは常に、半正定値行列の集合として測定を記述する方法に直接結びつく、単純な標準形で書けることをすぐに見ていきます。逆に、行列の集合として任意の測定が与えられたとき、前の段落で示唆したように、その測定を記述する、出力が対角になるという性質を持つ妥当なチャネルが常に存在します。これらの観察を組み合わせると、一般の測定に関する2つの記述は等価であることがわかります。

さらに先に進む前に、測定について、それをチャネルとしてどのように見るか、そしてどのような仮定を置くのかを、より正確に述べておきましょう。

これまでと同様に、\(\mathsf{X}\) を測定対象のシステムとし、測定の可能な結果は、ある正の整数 \(m\) について整数 \(0,\ldots,m-1\) であるとします。測定結果を保持するシステムを \(\mathsf{Y}\) とします。したがってその古典状態集合は \(\{0,\ldots,m-1\}\) であり、測定を \(\mathsf{X}\) から \(\mathsf{Y}\) への \(\Phi\) という名前のチャネルとして表します。ここでの仮定は、\(\mathsf{Y}\) が古典的であるということです。つまり、\(\mathsf{X}\) の初期状態が何であっても、得られる \(\mathsf{Y}\) の状態は対角な密度行列で表されるということです。

\(\Phi\) の出力が常に対角であることは、次のようにして数学的に表現できます。まず、\(\mathsf{Y}\) 上の完全位相緩和チャネル \(\Delta_m\) を定義します。

\[ \Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert \]

このチャネルは、前のレッスンで登場した完全位相緩和量子ビットチャネル \(\Delta\) に相当するものです。線形写像として、入力行列の非対角成分をすべてゼロにし、対角成分にはそのまま手を付けません。

そして、与えられた密度行列 \(\sigma\) が対角であることを表す簡単な方法は、方程式 \(\sigma = \Delta_m(\sigma)\) です。言葉で言えば、密度行列の非対角成分をすべてゼロにしても何も変化しないのは、非対角成分がもともとすべてゼロであった場合に限られる、ということです。したがって、チャネル \(\Phi\) が私たちの仮定（\(\mathsf{Y}\) が古典的であること）を満たすのは、

\[ \Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho)) \]

が、\(\mathsf{X}\) の状態を表すすべての密度行列 \(\rho\) について成り立つとき、かつそのときに限られます。

記述の等価性#

チャネルから行列へ#

\(\mathsf{X}\) から \(\mathsf{Y}\) へのチャネルであって、

\[ \Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho)) \]

という性質をすべての密度行列 \(\rho\) について満たすものがあるとします。これは、次のように表すこともできます。

\[ \Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1} \]

すべてのチャネルと同様に、クラウス行列 \(A_0,\ldots,A_{N-1}\) のある選び方に対して、\(\Phi\) をクラウス形式で表すことができます。

\[ \Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \]

これにより、\(\Phi(\rho)\) の対角成分に対する別の表現が得られます。

\[\begin{split} \begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned} \end{split}\]

ここで

\[ P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k. \]

したがって、この同じ行列 \(P_0,\ldots,P_{m-1}\) を用いて、チャネル \(\Phi\) を次のように表すことができます。

\[ \Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert \]

この式は、各測定結果が確率 \(\operatorname{Tr}(P_a \rho)\) で現れるという、行列による一般の測定の記述と一致しています。

では、集合 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) が一般の測定を記述するために必要な2つの性質を、実際に満たしていることを確認しましょう。 1つ目の性質は、それらがすべて半正定値行列であるということです。これを確認する一つの方法は、\(\mathsf{X}\) の古典状態に対応する成分を持つすべてのベクトル \(\vert \psi\rangle\) について、

\[ \langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0. \]

であることを観察することです。

2つ目の性質は、これらの行列を合計すると単位行列になるということです。

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned} \end{split}\]

最後の等式は、\(\Phi\) がチャネルであることから、そのクラウス行列がこの条件を満たさなければならないという事実に基づいています。

行列からチャネルへ#

次に、\(P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}\) を満たす半正定値行列の任意の集合 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) に対して、

\[ \Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert \]

によって定義される写像が、実際に \(\mathsf{X}\) から \(\mathsf{Y}\) への妥当なチャネルであることを確認しましょう。

そのための一つの方法は、この写像のチョイ表現を計算することです。

\[\begin{split} \begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned} \end{split}\]

3番目の等式では、各 \(P_a\) の転置が導入されていますが、これは

\[ \langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle. \]

が成り立つためです。これにより、\(\vert b \rangle \langle b \vert\) と \(\vert c \rangle \langle c \vert\) という表現が現れ、それぞれ \(b\) と \(c\) について合計すると単位行列に簡約されます。

\(P_0,\ldots,P_{m-1}\) が半正定値であるという仮定により、\(P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}\) もまた半正定値です。具体的には、エルミート行列を転置すると別のエルミート行列になり、任意の正方行列とその転置の固有値は常に一致します。したがって、\(J(\Phi)\) は半正定値であることがわかります。出力システム \(\mathsf{Y}\)（右側のシステム）を部分トレースすると、

\[ \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}, \]

が得られます。よって、\(\Phi\) はチャネルであると結論できます。

部分測定#

複数のシステムが全体として1つの量子状態にあり、そのうちの1つのシステムに対して一般の測定が行われる場合を考えます。これにより、測定と測定前のシステムの状態によって決まる確率に従って、ランダムに選ばれた測定結果のうちの1つが得られます。残りのシステムの結果として得られる状態は、一般に、どの測定結果が得られたかに依存します。

これがどのように機能するかを、システム \(\mathsf{X}\) が測定される2つのシステム \((\mathsf{X},\mathsf{Z})\) の組について見てみましょう。（右側のシステムを \(\mathsf{Z}\) と名付けているのは、チャネルとして見るときに測定の古典的な出力を表すシステムとして \(\mathsf{Y}\) を使うためです。）これにより、システムの順序が入れ替わる状況や、3つ以上のシステムがある状況にも簡単に一般化できます。

測定前の \((\mathsf{X},\mathsf{Z})\) の状態が密度行列 \(\rho\) によって記述されているとし、これを次のように書けるとします。

\[ \rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c} \]

この式では、\(\mathsf{X}\) の古典状態が \(0,\ldots,n-1\) であると仮定しています。

測定自体は、行列の集合 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) によって記述されるとします。この測定は、\(\mathsf{X}\) から \(\mathsf{Y}\) へのチャネル \(\Phi\) として記述することもできます。ここで \(\mathsf{Y}\) は古典状態集合 \(\{0,\ldots,m-1\}\) を持つ新しいシステムです。具体的には、このチャネルの作用は次のように表せます。

\[ \Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert \]

結果の確率#

システム \(\mathsf{X}\) の測定を考えているので、異なる測定結果が得られる確率は、\(\mathsf{X}\) の縮約状態である \(\rho_{\mathsf{X}}\) にのみ依存します。具体的には、各結果 \(a\in\{0,\ldots,m-1\}\) が現れる確率は、3つの等価な方法で表すことができます。

\[ \operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr) \]

1番目の式は、単一のシステムの測定について私たちがすでに知っていることに基づいて、結果 \(a\) を得る確率を自然に表しています。 2番目の式は、単に定義 \(\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\) を使って得られます。

3番目の式を得るにはもう少し考える必要があります。学習者はこれが正しいことを自分で確かめてみることをお勧めします。ヒント：2番目と3番目の式の等価性は、\(\rho\) が密度行列であることや、各 \(P_a\) が半正定値であることには依存しません。まず \(\rho = M\otimes N\) という形のテンソル積に対してこれを示し、線形性によって一般の場合にも成り立つと結論づけてみてください。

前の式における1番目と3番目の表現の等価性はすぐには明らかでないかもしれませんが、意味は理解できます。 \(\mathsf{X}\) に対する測定から始めて、実質的には \((\mathsf{X},\mathsf{Z})\) に対する測定を定義していることになります。ここでは単に \(\mathsf{Z}\) を捨てて \(\mathsf{X}\) を測定しています。すべての測定と同様に、この新しい測定も行列の集合によって記述することができ、この測定が次の集合によって記述されることは驚くことではありません。

\[ \{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}. \]

測定結果に条件づけられた状態#

異なる結果の確率だけでなく、各測定結果に条件づけられた結果としての \(\mathsf{Z}\) の状態も求めたい場合は、測定のチャネルによる記述に注目することができます。具体的には、\(\Phi\) を \(\mathsf{X}\) に適用し、\(\mathsf{Z}\) には何もしない場合に得られる状態を見てみましょう。

\[\begin{split} \begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned} \end{split}\]

これは \(\Phi\) がチャネルであることにより密度行列となっており、そのため各行列 \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\) は必然的に半正定値であることに注意してください。

最後に一段階の変形を行うことで、この式は求めているものを明らかにする形に変わります。

\[ \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)} \]

これは古典・量子状態の一例であり、

\[ \sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a, \]

密度行列のレッスンで見たものと同じです。各測定結果 \(a\in\{0,\ldots,m-1\}\) について、確率

\[ p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho) \]

で、\(\mathsf{Y}\) は古典状態 \(\vert a \rangle \langle a \vert\) にあり、\(\mathsf{Z}\) は状態

\[ \sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2} \]

にあります。つまり、これは

\[ \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho) \]

をそのトレースで割って正規化することで得られる密度行列です。（形式的に言えば、状態 \(\sigma_a\) は確率 \(p(a)\) が非ゼロである場合にのみ定義されます。\(p(a) = 0\) の場合、この状態は無関係です。これは確率ゼロで発生する離散事象を指しているためです。）

当然ながら、結果の確率は私たちが以前に観察した内容と一致しています。

まとめると、\((\mathsf{X},\mathsf{Z})\) が状態 \(\rho\) にあるときに測定 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) を \(\mathsf{X}\) に対して行うと、次のことが起こります。

各結果 \(a\) は確率 \(p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\) で現れます。
結果 \(a\) が得られたことを条件として、\(\mathsf{Z}\) の状態は方程式 \((2)\) に示される密度行列 \(\sigma_a\) によって表されます。これは \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\) を正規化することで得られます。

一般化#

この記述は、システムの順序が逆になる場合や、3つ以上のシステムがある場合など、他の状況にも適応させることができます。概念的には単純ですが、式を書き下すのは煩雑になることがあります。

一般に、\(r\) 個のシステム \(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r\) があり、複合システム \((\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)\) の状態が \(\rho\) であり、測定 \(\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}\) が \(\mathsf{X}_k\) に対して行われる場合、次のことが起こります。

各結果 \(a\) は次の確率で現れます。

\[ p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr). \]
結果 \(a\) が得られたことを条件として、\((\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)\) の状態は次の密度行列によって表されます。

\[ \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)} \]