量子チャネルの基礎

数学的に言えば、チャネルとは、ある種の要件を満たす、密度行列から密度行列への線形写像です。 この講義を通して、チャネルを指すのに \(\Phi\) や \(\Psi\) を含む大文字のギリシャ文字を用い、特定の場合には他の文字も用います。

すべてのチャネル \(\Phi\) は入力系と出力系を持ちます。ここでは通常、入力系を指すのに \(\mathsf{X}\)、出力系を指すのに \(\mathsf{Y}\) という名前を用います。 チャネルの出力系が入力系と同じであることはよくあり、この場合は両方を指すのに同じ文字 \(\mathsf{X}\) を使えます。

チャネルは線形写像である

チャネルは 線形 写像で記述されます。これは、古典情報の標準的な定式化における確率的操作や、量子情報の簡易的な定式化におけるユニタリ操作と同様です。

チャネル \(\Phi\) が、密度行列 \(\rho\) で記述される状態にある入力系 \(\mathsf{X}\) に対して実行されると、チャネルの出力系は密度行列 \(\Phi(\rho)\) で記述されます。 \(\Phi\) の出力系も \(\mathsf{X}\) である場合、そのチャネルは \(\mathsf{X}\) の状態が \(\rho\) から \(\Phi(\rho)\) へ変化することを表していると単純に見なせます。 \(\Phi\) の出力系が \(\mathsf{X}\) ではなく別の系 \(\mathsf{Y}\) である場合、\(\mathsf{Y}\) はチャネルを適用する過程で生成される新しい系であり、チャネルが適用されると入力系 \(\mathsf{X}\) はもはや利用できなくなる、と理解すべきです。あたかもチャネル自体が \(\mathsf{X}\) を \(\mathsf{Y}\) へと変換し、それを状態 \(\Phi(\rho)\) に残すかのようにです。

チャネルが 線形 写像で記述されるという仮定は、公理——言い換えれば、証明されるものではなく理論の基本的な要請——と見なせます。 ただし、チャネルが確率論やこれまで密度行列について学んだことと整合するためには、密度行列を入力とする凸結合に対してチャネルが線形に作用する必要があることは理解できます。

より具体的に述べると、チャネル \(\Phi\) があり、それを密度行列 \(\rho\) と \(\sigma\) で表される2つの状態のいずれかにある系に適用するとします。 \(\rho\) にチャネルを適用すると密度行列 \(\Phi(\rho)\) が得られ、\(\sigma\) に適用すると密度行列 \(\Phi(\sigma)\) が得られます。 したがって、\(\mathsf{X}\) の入力状態を確率 \(p\) で \(\rho\)、確率 \(1-p\) で \(\sigma\) とランダムに選ぶと、確率 \(p\) で出力状態 \(\Phi(\rho)\)、確率 \(1-p\) で \(\Phi(\sigma)\) が得られます。これを密度行列の加重平均として \(p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)\) と表します。

一方、チャネルの入力状態を加重平均 \(p\rho + (1-p)\sigma\) で表されると考えることもでき、この場合の出力は \(\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)\) です。 どちらの考え方をしても同じ状態なので、次が成り立たなければなりません。

\[ \Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma). \]

任意の密度行列 \(\rho\)、\(\sigma\) とスカラー \(p\in [0,1]\) の選び方に対してこの条件を満たす写像がある場合、その写像を線形になるように任意の行列入力（つまり密度行列に限らない入力）へ拡張する方法が、常に一意に存在します。

チャネルは密度行列を密度行列に変換する

当然ながら、チャネルは線形写像であることに加えて、密度行列を密度行列に変換しなければなりません。 チャネル \(\Phi\) が、密度行列 \(\rho\) で表される状態にある入力系に適用されると、状態が \(\Phi(\rho)\) で表される系が得られます。これを状態として解釈するためには、\(\Phi(\rho)\) が有効な密度行列でなければなりません。

しかし、決定的に重要なのは、もっと一般的な状況、すなわちチャネル \(\Phi\) が、何も起こらない追加の系 \(\mathsf{Z}\) が存在する状況で、系 \(\mathsf{X}\) を系 \(\mathsf{Y}\) に変換する場合を考えることです。 つまり、系の組 \((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) が何らかの密度行列で記述される状態から始め、\(\mathsf{X}\) だけに \(\Phi\) を適用して \(\mathsf{Y}\) に変換すると、組 \((\mathsf{Z},\mathsf{Y})\) の状態を記述する密度行列が得られなければなりません。

入力系 \(\mathsf{X}\) と出力系 \(\mathsf{Y}\) を持つチャネル \(\Phi\) が、\(\mathsf{Z}\) に何もしないときに、組 \((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) の状態を \((\mathsf{Z},\mathsf{Y})\) の状態へどのように変換するかを、数学的に記述できます。 簡単のため、\(\mathsf{Z}\) の古典的状態集合は \(\{0,\ldots,m-1\}\) であると仮定します。 これにより、\((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) の状態を表す任意の密度行列 \(\rho\) を次の形で書くことができます。

\[\begin{split} \rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix} \end{split}\]

この式の右辺にはブロック行列があります。これは、内側の括弧を取り除いた行列の行列と考えることができます。 これにより、中央の式でディラック記法を用いて別の形で記述できる、通常の行列が残ります。 各行列 \(\rho_{a,b}\) は \(\mathsf{X}\) の古典的状態に対応する行と列を持ち、これらの行列は単純な式で決まります。

\[ \rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \]

これらは一般には密度行列ではないことに注意してください。それらを組み合わせて \(\rho\) を形成したときにのみ、密度行列が得られます。

次の式は、\(\mathsf{X}\) に \(\Phi\) を適用したときに得られる \((\mathsf{Z},\mathsf{Y})\) の状態を記述します。

\[\begin{split} \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix} \end{split}\]

\(\Phi\) と \(\rho\) の与えられた選び方に対してこの式を評価するには、各 \(\rho_{a,b}\) が一般にはそれ単独では密度行列にならないため、\(\Phi\) が密度行列でない入力に対する線形写像としてどう働くかを理解しなければならないことに注意してください。 この式は表式 \((\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)\) と整合します。ここで \(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\) は系 \(\mathsf{Z}\) 上の 恒等チャネル を表します。 これはテンソル積の概念を行列から行列への線形写像へ拡張したことを前提としています。それは直接的ですが、この講義に本質的なものではなく、これ以上の説明はしません。

上で述べたことを繰り返すと、線形写像 \(\Phi\) が有効なチャネルであるためには、\(\mathsf{Z}\) のあらゆる選び方と組 \((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) のあらゆる密度行列 \(\rho\) に対して、\(\mathsf{X}\) に \(\Phi\) を適用したとき常に密度行列が得られなければなりません。 数学的に言えば、写像がチャネルであるために持たねばならない性質は、トレース保存 であること——チャネルを適用して得られる行列のトレースが1に等しくなるように——と、完全正値 であること——結果として得られる行列が半正定値になるように——です。 これらはどちらも別々に考察・研究できる重要な性質ですが、この講義のためにこれらの性質を単独で考えることは重要ではありません。

実際、密度行列を入力として与えられると常に密度行列を出力するが、複合系に対しては密度行列を密度行列に写せない線形写像も存在します。したがって、このやり方によっていくつかの線形写像がチャネルのクラスから除外されます。 （行列の転置で与えられる線形写像が最も単純な例です。）

2つの系 \(\mathsf{X}\) と \(\mathsf{Z}\) を入れ替えて、\(\Phi\) を右側ではなく左側の系に適用する場合にも、上の式と類似の式が得られます。

\[ \bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert \]

これは \(\rho\) が \((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) ではなく \((\mathsf{X},\mathsf{Z})\) の状態であることを仮定しています。 今回は、行列 \(\rho_{a,b}\) が \(\rho\) の中で連続した行と列に収まらないためブロック行列による記述はうまくいきませんが、根底にある数学的構造は同じです。

複合系の一部だけに適用された場合でも常に密度行列を密度行列に変換するという要件を満たす任意の線形写像は、有効なチャネルを表します。 したがって、抽象的な意味では、チャネルの概念は、密度行列の概念と、チャネルが線形に作用するという仮定によって決まります。 この点でチャネルは、量子情報の簡易的な定式化におけるユニタリ操作——与えられた系について量子状態ベクトルを常に量子状態ベクトルに変換する線形写像がまさにそれです——や、古典情報の標準的な定式化における（確率行列で表される）確率的操作——確率ベクトルを常に確率ベクトルに変換する線形写像がまさにそれです——に類似しています。

チャネルとしてのユニタリ操作

\(\mathsf{X}\) を系とし、\(U\) を \(\mathsf{X}\) に対する操作を表すユニタリ行列とします。 密度行列に対するこの操作を記述するチャネル \(\Phi\) は、\(\mathsf{X}\) の量子状態を表すあらゆる密度行列 \(\rho\) に対して次のように定義されます。

\[ \Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1} \]

左から \(U\)、右から \(U^{\dagger}\) を掛けるこの作用は、一般に行列 \(U\) による 共役 と呼ばれます。

この記述は、与えられた量子状態ベクトル \(\vert\psi\rangle\) を表す密度行列が \(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\) であるという事実と整合します。 特に、ユニタリ操作 \(U\) が \(\vert\psi\rangle\) に対して実行されると、出力状態はベクトル \(U\vert\psi\rangle\) で表され、したがってこの状態を記述する密度行列は次に等しくなります。

\[ (U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}. \]

チャネルとして操作 \(U\) が純粋状態に対して \(\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}\) という作用を持つことがわかれば、線形性により、任意の密度行列 \(\rho\) に対して上の式 \((1)\) で指定されるとおりに働かなければならないと結論できます。

\(U = \mathbb{I}\) ととったときに得られる特定のチャネルが 恒等チャネル \(\;\operatorname{Id}\) です。このチャネルがどの系に作用するかを明示したいときには（すでに出てきた \(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\) のように）添字を付けることもできます。 その出力は常に入力に等しくなります。\(\operatorname{Id}(\rho) = \rho\) です。 これは面白いチャネルには見えないかもしれませんが、実際には非常に重要なもので、これが最初の例であるのは適切です。 恒等チャネルは、文脈によっては 完璧な チャネルであり、理想的なメモリや、送信者から受信者への完璧でノイズのない情報伝送を表します。

このようにユニタリ操作で定義されるすべてのチャネルは、確かに有効なチャネルです。 行列 \(U\) による共役は線形写像を与えます。そして \(\rho\) が系 \((\mathsf{Z},\mathsf{X})\) の密度行列で \(U\) がユニタリであれば、次のように表せる結果もまた密度行列です。

\[ (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}), \]

具体的には、この行列は半正定値でなければなりません。なぜなら \(\rho = M^{\dagger} M\) ならば

\[ (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K \]

が \(K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\) について成り立つからです。 また、トレースの巡回性により、単位トレースを持たなければなりません。

\[ \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1 \]

チャネルの凸結合

同じ入力系と同じ出力系を共有する2つのチャネル \(\Phi_0\) と \(\Phi_1\) があるとします。 任意の実数 \(p\in[0,1]\) について、確率 \(p\) で \(\Phi_0\) を、確率 \(1-p\) で \(\Phi_1\) を適用すると決めることができ、これにより \(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1\) と書ける新しいチャネルが得られます。 明示的に書くと、このチャネルが与えられた密度行列に作用する仕方は、次の単純な式で指定されます。

\[ (p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho) \]

より一般に、チャネル \(\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}\) と確率ベクトル \((p_0,\ldots, p_{m-1})\) があれば、これらのチャネルを平均して新しいチャネルを得ることができます。

\[ \sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k \]

これはチャネルの 凸結合 であり、この過程を通じて常に有効なチャネルが得られます。 これを数学的に簡単に言えば、与えられた入力系と出力系の選び方に対して、すべてのチャネルの集合は 凸集合 である、ということです。

例として、ある系に一連の ユニタリ 操作のうちの一つを適用することを選べます。 こうして得られるのが 混合ユニタリ チャネルと呼ばれるもので、次の形で表せるチャネルです。

\[ \Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger} \]

すべてのユニタリ操作がパウリ行列（またはパウリ行列のテンソル積）である混合ユニタリチャネルは パウリチャネル と呼ばれ、量子計算でよく現れます。

量子ビットチャネルの例

次に、ユニタリでないチャネルの具体的な例をいくつか見ていきます。 これらの例ではいずれも入力系と出力系がともに単一の量子ビットです。つまり、これらは 量子ビットチャネル の例です。

量子ビットリセットチャネル

このチャネルは非常に単純なことを行います。量子ビットを \(\vert 0\rangle\) 状態にリセットするのです。 線形写像として、このチャネルはあらゆる量子ビット密度行列 \(\rho\) に対して次のように表せます。

\[ \Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert \]

あらゆる密度行列 \(\rho\) のトレースは \(1\) に等しいのですが、チャネルをこのように書くことで、これが密度行列に限らず任意の \(2\times 2\) 行列に適用できる線形写像であることが明確になります。 すでに述べたように、チャネルが複合系の一部だけに適用されたときに何が起こるかを記述するには、チャネルが密度行列でない入力に対する線形写像としてどう働くかを理解する必要があります。

たとえば、\(\mathsf{A}\) と \(\mathsf{B}\) が量子ビットで、組 \((\mathsf{A},\mathsf{B})\) がベル状態 \(\vert \phi^+\rangle\) にあるとします。 密度行列として、この状態は次で与えられます。

\[\begin{split} \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{split}\]

ディラック記法を用いると、この状態を別の形で次のように表せます。

\[ \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \]

\(\mathsf{A}\) に量子ビットリセットチャネルを適用し、\(\mathsf{B}\) には何もしないことで、次の状態が得られます。

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned} \end{split}\]

\(\mathsf{A}\) をリセットすると \(\mathsf{B}\) に影響が及び、完全混合状態になった、と言いたくなるかもしれません。しかしある意味では、実際はその逆です。 \(\mathsf{A}\) がリセットされる前から、\(\mathsf{B}\) の縮約状態は完全混合状態であり、それは \(\mathsf{A}\) をリセットした結果として変わることはありません。

完全位相緩和チャネル

以下は \(\Delta\) と呼ばれる量子ビットチャネルの例で、\(2\times 2\) 行列への作用によって記述されます。

\[\begin{split} \Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{split}\]

言葉で言えば、\(\Delta\) は \(2\times 2\) 行列の非対角成分をゼロにします。 この例は、量子ビットに限らず任意の系に一般化できます。すなわち、どのような密度行列が入力されても、チャネルは非対角成分をすべてゼロにし、対角成分はそのまま残します。

このチャネルは 完全位相緩和チャネル と呼ばれ、デコヒーレンス として知られる過程——本質的に量子重ね合わせを台無しにして古典的な確率的状態に変えてしまう過程——の極端な形を表すものと考えられます。

このチャネルを考えるもう一つの方法は、量子ビットに対する標準基底測定を記述しているというものです。ここでは入力量子ビットが測定されてから捨てられ、出力は測定結果を記述する密度行列です。 あるいは、等価的に、測定結果が捨てられ、量子ビットが測定後の状態に残されると考えることもできます。

再びe-bit（1つのもつれビット）を考え、2つの量子ビットの一方だけに \(\Delta\) を適用したときに何が起こるかを見てみましょう。 具体的には、\((\mathsf{A},\mathsf{B})\) が状態 \(\vert\phi^+\rangle\) にある量子ビット \(\mathsf{A}\) と \(\mathsf{B}\) があり、今回は2番目の量子ビットにチャネルを適用してみます。 得られる状態は次のとおりです。

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned} \end{split}\]

あるいは、この式をブロック行列を用いて表すこともできます。

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{split}\]

量子ビットを完全に位相緩和させるのではなく、わずかに位相緩和させるだけの量子ビットチャネルも考えることができます。これは完全位相緩和チャネルが表すものよりも穏やかな形のデコヒーレンスです。 特に、\(\varepsilon \in (0,1)\) を小さいがゼロでない実数とします。 次のチャネルを定義できます。

\[ \Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta, \]

これは与えられた量子ビット密度行列 \(\rho\) を次のように変換します。

\[ \Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho). \]

つまり、確率 \(1-\varepsilon\) で何も起こらず、確率 \(\varepsilon\) で量子ビットが位相緩和します。 行列の観点では、この作用は次のように表せます。対角成分はそのまま残り、非対角成分は \(1-\varepsilon\) を掛けられます。

\[\begin{split} \rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{split}\]

完全脱分極チャネル

こちらは \(\Omega\) と呼ばれる別の量子ビットチャネルの例です。

\[ \Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \]

ここで \(\mathbb{I}\) は \(2\times 2\) の単位行列を表します。 言葉で言えば、任意の密度行列入力 \(\rho\) に対して、チャネル \(\Omega\) は完全混合状態を出力します。 これ以上ノイズが大きくなることはありません。 このチャネルは 完全脱分極チャネル と呼ばれ、完全位相緩和チャネルと同様に、量子ビットの代わりに任意の系へ一般化できます。

位相緩和チャネルで見たのと同様に、確率 \(\varepsilon\) で脱分極が起こる、より穏やかなこのチャネルの変種も考えることができます。

\[ \Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho). \]