ベクトルからベクトルへの線形写像は、線形写像の作用が行列とベクトルの積で記述されるという、よく知られた方法で行列によって表現できます。
しかしチャネルは、ベクトルからベクトルへの線形写像ではなく、行列から行列への線形写像です。
では 一般に、チャネルを数学的にどのように表現すればよいのでしょうか。
チャネルによっては、先に説明した3つの非ユニタリな量子ビットチャネルの例のように、それらを記述する単純な式が得られる場合もあります。
しかし任意のチャネルがそのような便利な式を持つとは限らないため、一般にチャネルをこの方法で表現するのは実用的ではありません。
この問いに答えるには、いくつかの追加的な数学的道具立てが必要になります。
実は、チャネルはいくつかの異なる方法で数学的に記述できることがわかります。その中には、それらの発展に重要な役割を果たした3人の人物にちなんで名付けられた表現も含まれます。
スタインスプリング、
クラウス、 そして
チョイ
です。
これらの異なるチャネルの記述方法は、それらを見たり分析したりするためのさまざまな視点を与えてくれます。
スタインスプリング表現
スタインスプリング表現は、あらゆるチャネルが標準的な方法で実装できるという考え方に基づいています。
その方法とは、まず入力系を初期化された作業用の系と結合して複合系を形成し、
次に複合系にユニタリ操作を施し、
最後に作業用の系を捨てる（あるいはトレースアウトする）ことで、チャネルの出力を得るというものです。
次の図は、入力系と出力系が同じ系 \(\mathsf{X}\) であるチャネルについて、このような実装を回路図の形で表したものです。
この図では、ワイヤーの上のラベルで示されているように、ワイヤーは任意の系を表しており、必ずしも単一の量子ビットとは限りません。
また、電気工学で一般的に用いられる 接地（グラウンド） の記号は、\(\mathsf{W}\) が捨てられることを明示的に示しています。
言葉で述べると、この実装の仕組みは次のとおりです。
入力系 \(\mathsf{X}\) は何らかの状態 \(\rho\) で始まり、作業用の系 \(\mathsf{W}\) は標準基底状態 \(\vert 0\rangle\) に初期化されます。
組 \((\mathsf{W},\mathsf{X})\) にユニタリ操作 \(U\) を施し、最後に作業用の系 \(\mathsf{W}\) を トレースアウト して、\(\mathsf{X}\) を出力として残します。
ここでは \(0\) を \(\mathsf{W}\) の古典的な状態とみなし、それをこの系の初期化状態として選んでいることに注意してください。これは数学を簡単にするのに役立ちます。
ただし、表現の基本的な性質を変えることなく、任意の固定された純粋状態を \(\mathsf{W}\) の初期化状態として選ぶこともできます。
得られるチャネル \(\Phi\) の数学的な表式は次のとおりです。
\[
\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)
\]
いつものように、Qiskit の順序の慣例を用いています。すなわち、系 \(\mathsf{X}\) は図の上側にあり、したがって式では右側のテンソル因子に対応します。
一般に、チャネルの入力系と出力系は同じである必要はありません。
次の図は、入力系が \(\mathsf{X}\) で出力系が \(\mathsf{Y}\) であるチャネル \(\Phi\) の実装を描いたものです。
今回のユニタリ操作は、組 \((\mathsf{W},\mathsf{X})\) を組 \((\mathsf{G},\mathsf{Y})\) に変換します。ここで \(\mathsf{G}\) はトレースアウトされる新しい「ゴミ」の系で、出力系として \(\mathsf{Y}\) が残ります。
\(U\) がユニタリであるためには、それは正方行列でなければなりません。
このため、組 \((\mathsf{G},\mathsf{Y})\) は組 \((\mathsf{W},\mathsf{X})\) と同じ数の古典的状態を持つ必要があり、したがって系 \(\mathsf{W}\) と \(\mathsf{G}\) はそれを可能にするように選ばれなければなりません。
得られるチャネル \(\Phi\) の数学的な表式は、以前と同様の形になります。
\[
\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)
\]
チャネルがこのように、ユニタリ操作と、作業用の系をどのように初期化しどのように出力系を選ぶかの指定とともに記述されるとき、それは スタインスプリング形式 で表現されている、あるいはそのチャネルの スタインスプリング表現 であるといいます。
まったく自明ではありませんが、実際あらゆるチャネルはスタインスプリング表現を持ちます。これはこの講義の終わりまでに見ていきます。
また、スタインスプリング表現は一意ではないこともわかります。すなわち、記述されたやり方で同じチャネルを実装する方法は常に複数存在します。
補足
量子情報の文脈では、 スタインスプリング表現 という用語は、次の形を持つ、チャネルのやや一般的な表式を指すことがよくあります。
\[
\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)
\]
ここで \(A\) は 等長写像（アイソメトリ） であり、列が正規直交であるが必ずしも正方行列でない行列です。
ここで定義として採用した形のスタインスプリング表現については、
\[
A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}})
\]
とすることで、このもう一方の形の表式を得ることができます。
完全位相緩和チャネル
以下は、量子ビットの位相緩和チャネル \(\Delta\) のスタインスプリング表現です。
この図では両方のワイヤーが単一の量子ビットを表しているので、これは通常の量子回路図です。
この回路が入力量子ビットに及ぼす効果が、確かに完全位相緩和チャネルで記述されることを確認するために、前の講義で説明した部分トレースの明示的な行列表現を用いて、回路を一段階ずつたどってみましょう。
上側の量子ビットを \(\mathsf{X}\) と呼ぶことにします。これはチャネルの入力と出力です。そして \(\mathsf{X}\) は何らかの任意の状態 \(\rho\) で始まると仮定します。
最初のステップは、作業用の量子ビット \(\mathsf{W}\) の導入です。
制御NOTゲートが施される前の組 \((\mathsf{W},\mathsf{X})\) の状態は、次の密度行列で表されます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho
& = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[4mm]
& = \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{split}\]
Qiskit の順序の慣例に従い、上側の量子ビット \(\mathsf{X}\) は右側に、下側の量子ビット \(\mathsf{W}\) は左側にあります。
ここでは量子状態ベクトルではなく密度行列を用いていますが、量子情報の簡易的な定式化で行われるのと同じように、それらをテンソル積で結合しています。
次のステップは制御NOT操作を施すことです。ここで \(\mathsf{X}\) が制御で \(\mathsf{W}\) が標的です。
引き続き Qiskit の順序の慣例を念頭に置くと、このゲートの行列表現は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{split}\]
これはユニタリ操作であり、密度行列に適用するにはユニタリ行列で共役をとります。
この特定の行列については共役転置をとっても変わらないので、結果は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 1\\[1mm]
0 & 0 & 1 & 0\\[1mm]
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 1\\[1mm]
0 & 0 & 1 & 0\\[1mm]
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\[3mm]
= \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
\end{split}\]
最後に、\(\mathsf{W}\) について部分トレースを実行します。
前の講義で説明した、\(4\times 4\) 行列に対するこの操作の作用を思い出すと、次の密度行列の出力が得られます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
& = \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm]
0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\[1mm]
0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[3mm]
& = \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm]
0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[4mm]
& = \Delta(\rho)
\end{aligned}
\end{split}\]
あるいは、まずディラック記法に変換することで部分トレースを計算することもできます。
\[\begin{split}
\begin{pmatrix}
\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
\langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle
\end{pmatrix}
=
\begin{array}{r}
\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm]
+\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm]
+\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm]
+\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert
\end{array}
\end{split}\]
左側の量子ビットをトレースアウトすると、以前と同じ答えが得られます。
\[
\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert
+\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert
= \Delta(\rho)
\]
この回路を直観的に考える一つの方法は、制御NOT操作が入力量子ビットの古典的状態を実質的にコピーし、そのコピーがゴミ箱に捨てられると、入力量子ビットが2つの可能な古典的状態のいずれかに確率的に「収縮」する、というものです。これは完全な位相緩和と等価です。
完全位相緩和チャネル（別法）
上で説明した回路は、完全位相緩和チャネルを実装する唯一の方法ではありません。
ここでは別のやり方を示します。
この実装がうまくいくことを示す簡単な分析を以下に示します。
アダマールゲートが施された後、密度行列としての次の2量子ビット状態が得られます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho
& = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1\\[1mm]
1 & 1
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[4mm]
& = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{split}\]
制御\(\sigma_z\)ゲートは、次のように共役によって作用します。
\[\begin{split}
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 1 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 1 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 1 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 1 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}\\[3mm]
= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
\end{split}\]
最後に作業用の系 \(\mathsf{W}\) がトレースアウトされます。
\[\begin{split}
\frac{1}{2}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{W}}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle &
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle &
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[3mm]
\begin{aligned}
& = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[4mm]
& = \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm]
0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{split}\]
この実装は単純な考え方に基づいています。すなわち、位相緩和は、何もしない（つまり恒等操作を施す）か、\(\sigma_z\)ゲートを施すかを、それぞれ確率 \(1/2\) で行うことと等価です。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z
& = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm]
-\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[4mm]
& = \begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm]
0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}\\[2mm]
& = \Delta(\rho)
\end{aligned}
\end{split}\]
つまり、完全位相緩和チャネルは混合ユニタリチャネルの一例であり、より具体的にはパウリチャネルの一例です。
量子ビットリセットチャネル
量子ビットリセットチャネルは次のように実装できます。
スワップゲートは、作業用量子ビットの \(\vert 0\rangle\) に初期化された状態を単純に移して出力させ、一方で入力状態 \(\rho\) は下側の量子ビットに移されてからトレースアウトされます。
あるいは、チャネルの出力が上側に残ることを要求しないのであれば、この非常に単純な回路を表現として採用できます。
言葉で言えば、量子ビットを \(\vert 0\rangle\) 状態にリセットすることは、その量子ビットをゴミ箱に捨てて新しいものを手に入れることと等価です。
クラウス表現
次に クラウス表現 について説明します。これは、行列の積と和を通じてチャネルの作用を表す便利な公式的な方法を提供します。
具体的には、クラウス表現はチャネル \(\Phi\) を次の形で指定するものです。
\[
\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}
\]
ここで \(A_0,\ldots,A_{N-1}\) はすべて同じ次元を持つ行列です。
それらの列は入力系 \(\mathsf{X}\) の古典的状態に対応し、それらの行は出力系（\(\mathsf{X}\) であれ他の系 \(\mathsf{Y}\) であれ）の古典的状態に対応します。
\(\Phi\) が有効なチャネルであるためには、これらの行列は次の条件を満たさなければなりません。
\[
\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}
\]
この条件は、\(\Phi\) がトレースを保存するという条件と等価です。
チャネルに要求されるもう一つの性質——完全正値性——は、\(\Phi\) の式が共役の和であるという一般的な形から従います。
行列 \(A_0,\ldots,A_{N-1}\) を別の方法で名付けると便利なこともあります。
たとえば \(1\) から番号を付けたり、添字に数の代わりに何らかの任意の古典的状態集合 \(\Gamma\) の状態を用いたりできます。
\[
\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger}
\quad
\text{ここで}
\quad
\sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.
\]
これらの行列——クラウス行列 と呼ばれます——の名付け方はどれもよく使われ、状況によって便利です。しかしこの講義では、簡単のため名前 \(A_0,\ldots,A_{N-1}\) を用いることにします。
数 \(N\) は任意の正の整数でよいのですが、大きくする必要はありません。
入力系 \(\mathsf{X}\) が \(n\) 個の古典的状態を持ち、出力系 \(\mathsf{Y}\) が \(m\) 個の古典的状態を持つ場合、\(\mathsf{X}\) から \(\mathsf{Y}\) への任意のチャネルは、常に \(N\) が積 \(nm\) 以下となるクラウス表現を持ちます。
完全位相緩和チャネル
\(A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert\) と \(A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert\) をとることで、完全位相緩和チャネルのクラウス表現が得られます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger}
& =
\vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert
+ \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\
& = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert
+ \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm]
& =
\begin{pmatrix}
\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm]
0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{split}\]
これらの行列は必要な条件を満たします。
\[
\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k
= \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert
= \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}
\]
あるいは \(A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}\) と \(A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z\) をとることもでき、このとき
\[
\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),
\]
となり、これは以前計算したとおりです。今回、必要な条件は次のように確認できます。
\[
\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}
\]
量子ビットリセットチャネル
\(A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert\) と \(A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert\) をとることで、量子ビットリセットチャネルのクラウス表現が得られます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger}
& =
\vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert
+ \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\
& = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert
+ \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm]
& = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert
\end{aligned}
\end{split}\]
これらの行列は必要な条件を満たします。
\[
\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k
= \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert
= \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}
\]
完全脱分極チャネル
完全脱分極チャネルのクラウス表現を得る一つの方法は、クラウス行列 \(A_0,\ldots,A_3\) を次のように選ぶことです。
\[
A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad
A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad
A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad
A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}
\]
任意の量子ビット密度行列 \(\rho\) について、次が成り立ちます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger}
& = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert
+ \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert
+ \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert
+ \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\
& = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm]
& = \Omega(\rho).
\end{aligned}
\end{split}\]
別のクラウス表現は、次のようにクラウス行列を選ぶことで得られます。
\[
A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad
A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad
A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad
A_3 = \frac{\sigma_z}{2}
\]
これらのクラウス行列が実際に完全脱分極チャネルを表すことを確認するために、まず任意の \(2\times 2\) 行列をパウリ行列で共役をとる操作が次のように働くことに注目しましょう。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sigma_x
\begin{pmatrix}
\alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm]
\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1}
\end{pmatrix}
\sigma_x
& =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm]
\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0}
\end{pmatrix}\\[5mm]
\sigma_y
\begin{pmatrix}
\alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm]
\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1}
\end{pmatrix}
\sigma_y
& =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm]
-\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0}
\end{pmatrix}\\[5mm]
\sigma_z
\begin{pmatrix}
\alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm]
\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1}
\end{pmatrix}
\sigma_z
& =
\begin{pmatrix}
\alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm]
-\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{split}\]
これにより、クラウス表現の正しさを確認できます。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger}
& = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\
& =
\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
\langle 0\vert\rho\vert 0\rangle
+ \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle
+ \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle
+ \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle
&
\langle 0\vert\rho\vert 1\rangle
+ \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle
- \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle
- \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle
\\[2mm]
\langle 1\vert\rho\vert 0\rangle
+ \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle
- \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle
- \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle
&
\langle 1\vert\rho\vert 1\rangle
+ \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle
+ \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle
+ \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle
\end{pmatrix}
\\[4mm]
& = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}
\end{aligned}
\end{split}\]
このクラウス表現は重要な考え方を表しています。それは、量子ビットの状態は、4つのパウリ行列（恒等行列を含む）のいずれかを一様ランダムに選んで適用することで、完全にランダム化できるということです。
したがって、完全脱分極チャネルはパウリチャネルのもう一つの例です。
完全脱分極チャネル \(\Omega\) について、3つ以下のクラウス行列を持つクラウス表現を見つけることはできません。このチャネルには少なくとも4つが必要です。
ユニタリチャネル
系 \(\mathsf{X}\) に対する操作を表すユニタリ行列 \(U\) があるとき、このユニタリ操作の作用をチャネルとして表すことができます。
\[
\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.
\]
この表式は、たまたまクラウス行列が \(A_0 = U\) の1つだけである、チャネル \(\Phi\) の有効なクラウス表現になっています。この場合、必要な条件
\[
\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}
\]
は、ずっと単純な形 \(U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}\) となります。これは \(U\) がユニタリであることから真であるとわかります。
チョイ表現
次に、チャネルを記述する3つ目の方法である チョイ表現 について説明します。
その仕組みは、各チャネルを チョイ行列 として知られる単一の行列で表現するというものです。
入力系が \(n\) 個の古典的状態を持ち、出力系が \(m\) 個の古典的状態を持つ場合、そのチャネルのチョイ行列は \(nm\) 行 \(nm\) 列を持ちます。
チョイ行列はチャネルを 忠実に 表現します。つまり、2つのチャネルが同じであるための必要十分条件は、それらが同じチョイ行列を持つことです。
これが重要である理由の一つは、2つの異なる記述が同じチャネルに対応するのか異なるチャネルに対応するのかを判定する方法を与えてくれることです。すなわち、単にチョイ行列を計算して、それらが等しいかどうかを比較すればよいのです。
対照的に、スタインスプリング表現やクラウス表現は、これまで見てきたようにこの意味で一意ではありません。
チョイ行列は、チャネルのさまざまな数学的性質を明らかにするうえでも、他の点で有用です。
定義
\(\Phi\) を系 \(\mathsf{X}\) から系 \(\mathsf{Y}\) へのチャネルとし、入力系 \(\mathsf{X}\) の古典的状態集合が \(\Sigma\) であると仮定します。
\(\Phi\) のチョイ表現は \(J(\Phi)\) と表記され、次の式で定義されます。
\[
J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)
\]
ある正の整数 \(n\) について \(\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}\) と仮定すると、\(J(\Phi)\) を別の形でブロック行列として表すことができます。
\[\begin{split}
J(\Phi)
= \begin{pmatrix}
\Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm]
\Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm]
\Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr)
\end{pmatrix}
\end{split}\]
すなわち、ブロック行列として見ると、チャネルのチョイ行列は、入力系の古典的状態の各組 \((a,b)\) に対して1つのブロック \(\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)\) を持ち、それらのブロックが自然な形で配置されています。
集合 \(\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}\) が、すべての \(n\times n\) 行列の空間の基底をなすことに注意してください。
\(\Phi\) は線形なので、その作用はチョイ行列からブロックの線形結合をとることで復元できます。
チャネルのチョイ状態
チャネルのチョイ行列を考えるもう一つの方法は、\(n = \vert\Sigma\vert\) で割ればそれが密度行列になるということです。
簡単のため \(\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}\) の場合に焦点を当て、\(\mathsf{X}\) の2つの同一のコピーが一緒にもつれ状態
\[
\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.
\]
にあると想像しましょう。
密度行列としてこの状態は次のとおりです。
\[
\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1}
\vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert
\]
右側の \(\mathsf{X}\) のコピーに \(\Phi\) を適用すると、\(n\) で割ったチョイ行列が得られます。
\[
(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr)
= \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)
= \frac{J(\Phi)}{n}
\]
言葉で言えば、正規化因子 \(1/n\) を除けば、\(\Phi\) のチョイ行列は、最大もつれ した入力系の対の片方に \(\Phi\) を作用させることで得られる密度行列です。次の図がそれを描いています。
特に、これはチャネルのチョイ行列が常に半正定値でなければならないことを意味することに注意してください。
また、チャネル \(\Phi\) は右／上の系にのみ適用されるため、左／下の系の縮約状態に影響を与えることはできない、ということもわかります。
今の場合、その状態は完全混合状態 \(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n\) であり、したがって
\[
\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.
\]
両辺から分母 \(n\) を払うと \(\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}\) が得られます。
チャネルは常にトレースを保存しなければならないという事実を用いても、同じ結論を導くことができます。したがって
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi))
& = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\
& = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\
& = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\
& = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.
\end{aligned}
\end{split}\]
まとめると、任意のチャネル \(\Phi\) のチョイ表現 \(J(\Phi)\) は半正定値でなければならず、かつ次を満たさなければなりません。
\[
\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.
\]
この講義の終わりまでに見るように、これら2つの条件は必要であるだけでなく十分でもあります。つまり、これらの要件を満たす行列から行列への任意の線形写像 \(\Phi\) は、実際にチャネルでなければなりません。
完全位相緩和チャネル
完全位相緩和チャネル \(\Delta\) のチョイ表現は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\
& = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm]
& = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{split}\]
完全脱分極チャネル
完全脱分極チャネルのチョイ表現は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\
& = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm]
& = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm]
& = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{split}\]
量子ビットリセットチャネル
量子ビットリセットチャネル \(\Phi\) のチョイ表現は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\
& = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm]
& = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm]
& = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 1 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{split}\]
恒等チャネル
量子ビットの恒等チャネル \(\operatorname{Id}\) のチョイ表現は次のとおりです。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
J(\operatorname{Id})
& = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\
& = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\
& = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
0 & 0 & 0 & 0\\[1mm]
1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{split}\]
特に \(J(\operatorname{Id})\) は単位行列ではないことに注意してください。
チョイ表現は、行列が線形写像を表す通常の方法で、チャネルの作用を直接記述するものではありません。
